compito di matematica - 3d  - 29 maggio 2003

 

1)     E’ data la famiglia di funzioni omografiche di equazione:

a.      determina per quali valori di m la funzione omografica non rappresenta un’iperbole equilatera traslata e disegna i grafici delle figure ottenute.

 

m = 1 (retta  y = x + 4  o m = 3/2

 

b.      determina l’iperbole K per m = 0 e l’iperbole mancante e disegnale

 

y= -3/x ... xy = -3      y =1   v  x= -1

c.      trova eventuali punti base del fascio

punto base unico  (–3,1) e (-1,3)

 

d.      trova il luogo dei centri e disegnalo

 y = -x

 

2)     Determina l’iperbole I del fascio con asintoto y = 2, dopo aver verificato che è ottenuta per m = 2, disegnala. Trova le intersezioni con l’iperbole K (fai il grafico delle due iperboli  e controlla il risultato ottenuto)

 

i punti di intersezione sono (-3,1) e (-1,3) quello che interessa è (-1,3)

 

 

3)     Determina la parabola passante per l’origine che ha tangente comune all’iperbole I nel punto di intersezione dell’iperbole I con l’iperbole K, che ha ascissa maggiore (fai il grafico e verifica che la parabola trovata abbia le caratteristiche richieste)

 

la retta tangente è la retta y = - x +2

la parabola è y = - 2 x^2 –5 x

 

4)     Trova la circonferenza inscritta nella parabola con tangente comune nell’origine (chiediti graficamente quali proprietà deve avere la circonferenza e dopo il calcolo verifica che sia quella richiesta)

la circonferenza cercata ha equazione 2x^2+2y^2+5x+y=0

 

5)     Prendi il diametro passante per l’origine e consideralo base di un triangolo il cui terzo vertice è sull’arco di parabola con ordinata positiva; determina le coordinate dei vertici, nel caso in cui l’area misuri 3.

la base (diametro) ha vertici (0,0) e (-5/2,-1/2) e lunghezza rad(26)/2

 

L’altezza deve valere  12/rad(26), i vertici possono stare sulla retta 5y-x=12 che interseca la parabola nel punto (-2,2) e nel punto (-3/5, 57/25)

 

 

 

 

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